1)   Лейбниц (104(5—1716);

       2)  Братья Бернуллн: Якоб (1654 -1705)  и Иоганн (1667 – 1748 );      

       3) Эйлер (1707-1783);

         4)  Лагранж (1736—1813);

       5) Лаплас (1749-1827);

       6) Сыновья Иоганна Бернулли:  Николай и Даниил

    С трудами этих ученых тесно связана деятельность группы французских математиков, прежде всего Клеро, Даламбера п Мопертюи, которые в свою очередь были связаны с философами эпохи Просвещения. К ним надо добавить швейцарских  математиков  Ламберта  и  Даниила  Бернулли.   Научная деятельность  этих  учёных  была  сосредоточена  в  основном  в  трёх  академиях : Парижской , Берлинской и Петербургской.  Это был период, когда некоторые из ведущих европейских стран управлялись темп, кого, смягчая вы­ражения, называют просвещенными деспотами: это Фрид­рих II, Екатерина II, пожалуй, и Людовики XV п XVI. Притязания этих деспотов па славу частично основаны на том, что они любили окружать себя учеными людьми. Та­кая любовь была чем-то вроде интеллектуального снобпзма, но он умерялся в известной мере пониманием значения  /естествознания и прикладной математики в деле улучшения  мануфактур  н  повышения  боеспособности  вооруженных  сил. Например, говорят, что  отличные  качества французского   флота  связаны  с  тем,   что при  конструировании  фрегатов  и линейных  кораблей    кораблестроители частично  основывались  на  математической  теории.   В частности работы Эйлера изобилуют прикладными   примерами,  имеющими  важное   значение  для  армии  и  флота. 

          Астрономия продолжала играть роль  в  качестве приёмной матери  прикладных  математических  исследований,  пользуясь покровительством  королей  и  императоров. 

        2. В Швейцарии  город  Базель,  т.е.  свободный имперский город с 1263 г., уже долгое время был средоточием науки. Еще во времена Эразма  Роттердамского  Базельский  университет был важным  интеллектуальным  центром.  Науки и искусства процветали в Базеле, как  и в голланд­ских городах, под управленцем купеческого патрициата. К этому базельскому патрициату принадлежала и  купеческая  семья Бернулли. которая в предыдущем столетии переехала туда из Антверпена, когда  тот город,  был  захвачен  испанцами. С конца семнадцатого столетия  и до настоящего времени  зта семья  поставляет в каждом поколении учёных.  В истории науки  трудно найти  ещё  подобную  семью,  поставившую более внушительный рекорд.

           Родоначальпикамп  этоп  династии  были  два  математпка:  Якоб  и Иоганн Бсрнулли.

1.      Якоб  (старший  брат)  -  изучал  теологию,

2.      Иоганн (младший  брат)  изучал  медицину,

но  когда  в  лейпцигских Асtа Еruditorum  появились статьи Лейбница, оба они решили стать  математиками.  Они стали первыми  выдающимися учениками Лейбница.  В 1687 г. Якоб  занял кафедру ма­тематики в Базельском университете, где он преподавал до своей смерти в 1705 г.   А  Иоганн в 1697 г. стал профес­сором в Гронингене  (Голландия), а после смертп брата„ перешел па его кафедру в Базеле, где преподавал сорок три года. 

        Якоб начал переписываться с  Лейбницем  в 1687 г.   Затем,  постоянно обмениваясь мыслями с Лейбни­цем и между собой, не раз вступая в ожесточеппое сопер­ничество друг с другом, оба брата начали открывать те сокровища, которые содержались в путепролагающем достижении  Лейбница.   Список  их  результатов   длинен  и содержит не только многое пз того, что сейчас входит в на­ши элементарные учебники дифференциального и интег­рального исчисления, но и интегрирование ряда обыкновенных дифференциальных уравнений. Якобу принадле­жит применение полярных координат, исследование цспной линии (уже рассмотренной Гюйгенсом  и  другими), лемнискаты (1694 г.)  и логарифмической спирали.  В 1690 г. он нашел так называемую пзохрону, которую Лейбниц в 1687 г. определил как кривую, вдоль которой тело падает с постоянной скоростью,— оказалось, что это полукубическая парабола. Якоб также исследовал пзопериметрические фигуры (1701 г.), что привело его к зада­че  из  вариационного исчисления.  Логарифмическая  спи­раль,  которая  обладает  свойством  воспроизводиться при различных преобразованиях (её эволюта — тоже логариф­мическая спираль,  и они обе по отношению к полюсу яв­ляются подошвенной кривой и каустикой), настолько об­радовала Якоба, что он пожелал, чтобы эту кривую вырезали на его могильном камне с надписью: еаdem mutаlа геsuгgо - т.е. по-русски - «Изменившись,  возникаю такой  же»).

   Якоб Бернулли был также одним нз первых исследо­вателей в теории вероятностей, и по этому предмету он написал «Искусство предположения» (Агз сощес1а.пол) — книгу, опубликованную посмертно, в 1713 г. В ее первой части перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх,' в остальных частях рассматриваются перестановки п со­четания, а главным результатом_является «теорема  Бериулли» о биномиальных распределениях. .При рассмотрении треугольника  Паскаля в этой книге появляются  числа Бернулли, т.е. случайный ряд чисел, распределённых по закону Я.Бернулли.

          Учениками Якоба I были: его младший брат Иоганн I, племянник Николай I, член Петербургской академии наук, механик и математик Я. Герман, отец великого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.

          2. Работы его младшего брата  Иоганиа Бернуллп тсспо связаны с работами_его старшего брата,  и  не всегда  можно  различать  результаты каждого из них. Иогаина часто рассматривают  как  изобретателя  вариационного  исчисления,  вследствие его вклада в за­дачу о брахистохроне. Это —  такая кривая быстрейшего спуска для материальной точки,  которая движется в поле тяго­тения от заданной начальной к заданной конечной точке, кривая, которую исследовали Лейбниц п оба Бернулли в 1697 и  последующие годы. В это время они, открыли уравнение геодезических линий на поверхности, т.е. уравнения изопериметрических поверхностей).

          Решением задачи о брахистохроне является циклоида. Эта кри­вая решает также задачу о таутохроне, т.е.  — кривой, вдоль которой материальная точка в гравитационном поле до­стигает найннзшей точки за время, которое не зависит от исходной точки движения. Гюйгенс открыл это свойство циклоиды и использовал его для построения таутохронных часов с маятником (1673 г.), период колебания ко­торого не зависит от амплитуды.

        В  числе других Бернулли, повлиявших на    развитие математики   есть_два   сына Иоганна: Николай ц, особенно  Даниил. Николай, как и Даниил, был приглашен в Петербург, незадолго до того основанный  Петром Великим; и пробыл недолго. Задача  но теории вероятностей,  которую он предложил, находясь в этом городе,  как Петербургская задача  ( или  Пе­тербургский парадокс). Этот сын Иоганна умер молодым. 

         Другой сын, Даниил, дожил до глубокой старости. До  1777 г. был  профессором  Базельского  университета.  Его плодовитая деятельность посвящена главным образом  астрономии, физике н гидродинамике. Его «Гндродииамика»  появилась в 1738 г., и  одна  из теорем  этой .книги,  о гидравлическом давлении, носит его имя.  В  том же году он заложил основы кинетической теории газов.  Вместе  с  Даламбером  и Эйлером он изучал теорию колебаний струн.  Его отец  (Иоганн Бернулли)  н  дядя (Якоб   Бернулли)  развивали теорию обыкновенных  дифференциальных уравнений,  Даниил же был пионером  в области уравнений в частных производных.

4. Из Базеля вышел также самый плодовитый мате­матик восемнадцатого столетия, если только не всех вре­мен,—Леонард Эйлер, лучший ученик  Иоганна Бернулли. Его отец изучал математику под руководством Якоба Бернуллн, а Леонард — под руковод­ством Иоганна, Когда в 1725 г. сын Иоганна Николай' уехал в Петербург, молодой Эйлер последовал за ним и оставался в Петербургской академии до 1741 г. С 1741

 Не все так гладко в Бернулиадском королевстве